발송배전 및 건축전기 기술사 문제 | 원선도 계산, 68회

오늘은 발송배전기술사 및 건축전기설비기술사 단골 출제 문제인 송수전 전력원선도(Power Circle Diagram) 계산문제를 다룹니다. 전력계산식 유도와 중심좌표, 반경 구하는 법을 정리했으니 합격에 도움 되시길 바랍니다.

핵심 요약

• 전력계산식 유도: 4단자 정수(A, B, C, D)를 활용하여 송·수전단 전압과 전류 관계를 원의 방정식 형태로 도출
• 중심좌표 및 반경 산출: 선로 저항과 정전용량을 무시한 순수 리액턴스($X$) 회로를 가정하여 중심과 반경을 계산
• 기준전력 적용: 기준전력 $W_{n}=\frac{V_{r}^{2}}{X}$를 도입하면 복잡한 좌표계가 직관적이고 간소화된 수치로 변환

 

문제 (68회 3교시 2번 문제)

아래 그림과 같은 저항과 정전용량을 무시한 경우 송·수전 전력계산식을 유도하고, 또한 기준 전력으로서 $W_{n}=\frac{V_{r}^{2}}{X}$ 를 도입 시 송·수전 전력원선도의 중심좌표와 반경을 구하시오.

 

전력원선도 문제, 68회

 

풀이 1: 송·수전 전력계산식 유도

$V_{s}$, $V_{r}$, $I_{s}$, $I_{r}$ 을 각각 송전단전압, 수전단전압, 송전단전류, 수전단전류라고 하면 4단자 정수 표현식은 다음과 같습니다.

 

$$V_{s}=AV_{r}+BI_{r}$$

$$I_{s}=CV_{r}+DI_{r}$$

 

이 식을 전류 $I_{s}$, $I_{r}$ 에 관해서 정리하면,

$$I_{s}=\frac{D}{B}V_{s}-\frac{1}{B}V_{r}$$

$$I_{r}=\frac{1}{B}V_{s}-\frac{A}{B}V_{r}$$

 

여기서 $V_{r}=V_{r}\angle0^{\circ}$, $V_{s}=V_{s}\angle\delta$, $B=X\angle\beta$ 이며, $\frac{1}{B}=\frac{1}{X}\angle-\beta$ 가 됩니다.

 

또한 상수를 $\frac{A}{B}=m-jn$, $\frac{D}{B}=m^{\prime}-jn^{\prime}$ 로 두고, $\frac{V_{s}V_{r}}{X}=\rho$ 라 하면,

$$I_{s}=(m^{\prime}-jn^{\prime})V_{s}\angle\delta-\frac{1}{X}V_{r}\angle-\beta$$

$$I_{r}=-(m-jn)V_{r}+\frac{1}{X}V_{s}\angle(\delta-\beta)$$

 

1. 송전단 전력
송전단 전력 $W_{s}=P_{s}+jQ_{s}=V_{s}I_{s}$ 이며, 이를 식에 대입하여 정리하면 아래와 같은 원의 방정식이 도출됩니다.

$$(P_{s}-m^{\prime}V_{s}^{2})^{2}+(Q_{s}-n^{\prime}V_{s}^{2})^{2}=\rho^{2}$$

 

2. 수전단 전력
수전단 전력 $W_{r}=P_{r}+jQ_{r}=V_{r}I_{r}$ 이며, 마찬가지로 정리하면 아래의 원의 방정식이 됩니다.

$$(P_{r}-mV_{r}^{2})^{2}+(Q_{r}-n V_{r}^{2})^{2}=\rho^{2}$$

 

풀이 2: 기준전력 도입 시 송·수전 전력원선도의 중심좌표와 반경

주어진 회로(저항/정전용량 무시)에서 4단자 정수 $A=1$, $B=jX$ 입니다.

 

$\frac{A}{B}=m-jn$ 에서 $m=0, n=\frac{1}{X}$ 이 됩니다.
$\frac{D}{B}=m^{\prime}-jn^{\prime}$ 이면 $m^{\prime}=0, n^{\prime}=\frac{1}{X}$ 이 됩니다.

 

원의 중심이 각각 $(m^{\prime}V_{s}^{2}, n^{\prime}V_{s}^{2})$ 및 $(-mV_{r}^{2}, -nV_{r}^{2})$ 이고, $\rho=\frac{V_{s}V_{r}}{X}$ 인 원에서,

 

• 송전원의 중심좌표: $V_{s}^{2}(m^{\prime}+jn^{\prime})=(0,\frac{V_{s}^{2}}{X})$ 이고, 반경은 $\frac{V_{s}V_{r}}{X}$ 입니다.
• 수전원의 중심좌표: $-V_{r}^{2}(m+jn)=(0,-\frac{V_{r}^{2}}{X})$ 이고, 반경은 $\frac{V_{s}V_{r}}{X}$ 입니다.

여기서 기준전력을 $W_{n}=\frac{V_{r}^{2}}{X}$ 으로 도입하면 식은 다음과 같이 간단해집니다.

 

• 송전전력원선도
  • 중심좌표: $E = (0, \frac{V_{s}^{2}}{V_{r}^{2}})$
  • 반경: $\frac{V_{s}}{V_{r}}$
• 수전전력원선도
  • 중심좌표: $(0, -1)$
  • 반경: $\frac{V_{s}}{V_{r}}$

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맺음말
오늘은 전력계통에서 매우 중요한 전력원선도의 기본 식을 유도하고 중심좌표와 반경을 구해보았습니다. 복잡한 수식이지만 4단자 정수와 원의 방정식 형태를 잘 연결하면 쉽게 이해할 수 있습니다. 반복해서 직접 유도해 보시길 권장하며, 여러분의 기술사 합격을 진심으로 응원합니다!