발송배전 및 건축전기 기술사 문제 | 회로이론, 중첩, 83회

오늘은 발송배전 및 건축전기 기술사 시험 대비를 위해 83회 1교시에 출제된 회로이론 기출문제를 가져왔습니다. 복잡한 회로망에서 중첩의 원리와 밀만의 정리를 활용해 특정 전류를 구하는 방법을 알아봅니다.

핵심 요약

• 밀만의 정리(Millman's Theorem): 주파수가 동일한 다수의 전압원이 병렬 연결된 회로에서 양단자간 합성 전압을 구할 때 유용하게 쓰입니다.
• 중첩의 원리(Superposition Principle): 다수의 전원이 있는 선형 회로에서 각 전원을 단독으로 동작시켰을 때의 응답을 합산하여 구하는 방식입니다. (전압원 단락, 전류원 개방)
• 핵심 포인트: 두 가지 해석법의 차이와 과정을 명확히 숙지하면 복잡한 회로망의 교차 검증 및 응용 능력이 크게 향상됩니다.

 

문제 (83회 1교시 12번 문제)

그림과 같은 회로망에서 전류 $I_L$을 중첩의 원리에 의해 구하시오. (단, 회로는 3개의 임피던스 $Z_1, Z_2, Z_3$와 2개의 전압원 $E_1, E_2$가 병렬로 연결된 구조입니다.)

 

회로이론, 83회

 

풀이

문제에서는 중첩의 원리를 요구했으나, 실무 및 이론의 폭넓은 이해를 위해 밀만의 정리를 이용한 해법과 중첩의 원리를 이용한 해법을 모두 정리하였습니다.

 

1. 밀만의 정리 활용

회로망 내에 주파수가 동일한 전압원이 병렬로 다수가 연결되어 있을 때 양단자간 합성전압($V_{ab}$)을 구할 때 사용합니다.

$$ V_{ab} = \frac{\sum I}{\sum Y} = \frac{\sum \frac{E}{Z}}{\sum \frac{1}{Z}} $$

 

기술사 83회, 회로이론

 

회로에 적용하여 전압을 구하면 다음과 같습니다.

$$ V_{ab} = \frac{\frac{E_1}{Z_1} + \frac{E_2}{Z_2}}{\frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2} + \frac{1}{Z_3}} = \frac{\frac{E_1 Z_2 + E_2 Z_1}{Z_1 Z_2}}{\frac{Z_2 Z_3 + Z_3 Z_1 + Z_1 Z_2}{Z_1 Z_2 Z_3}} = \frac{Z_3 (E_1 Z_2 + E_2 Z_1)}{Z_1 Z_2 + Z_2 Z_3 + Z_3 Z_1} $$

따라서 $Z_3$에 흐르는 전류 $I_L$은 옴의 법칙에 의해 아래와 같이 산출됩니다.

$$ I_L = \frac{V_{ab}}{Z_3} = \frac{\frac{Z_3 (E_1 Z_2 + E_2 Z_1)}{Z_1 Z_2 + Z_2 Z_3 + Z_3 Z_1}}{Z_3} = \frac{E_1 Z_2 + E_2 Z_1}{Z_1 Z_2 + Z_2 Z_3 + Z_3 Z_1} $$

 

2. 중첩의 원리 활용

각각의 전원을 독립적으로 하여 전류를 계산하여 합한 것은 원래의 전류 합과 같습니다. (전원 제거 시: 전압원은 단락, 전류원은 개방)

1) $E_2$ 전원 제거 시 (전압원 단락) 합성 임피던스($Z_{eq1}$) 및 전류의 크기($I_1$)

$$ Z_{eq1} = Z_1 + \frac{Z_2 Z_3}{Z_2 + Z_3} = \frac{Z_1 Z_2 + Z_2 Z_3 + Z_3 Z_1}{Z_2 + Z_3} $$

$$ I_1 = \left( \frac{Z_2}{Z_2 + Z_3} \right) \times \frac{E_1}{Z_{eq1}} = \left( \frac{Z_2}{Z_2 + Z_3} \right) \times \frac{E_1 (Z_2 + Z_3)}{Z_1 Z_2 + Z_2 Z_3 + Z_3 Z_1} = \frac{E_1 Z_2}{Z_1 Z_2 + Z_2 Z_3 + Z_3 Z_1} $$

2) $E_1$ 전원 제거 시 (전압원 단락) 합성 임피던스($Z_{eq2}$) 및 전류의 크기($I_2$)

$$ I_2 = \left( \frac{Z_1}{Z_1 + Z_3} \right) \times \frac{E_2 (Z_1 + Z_3)}{Z_1 Z_2 + Z_2 Z_3 + Z_3 Z_1} = \frac{E_2 Z_1}{Z_1 Z_2 + Z_2 Z_3 + Z_3 Z_1} $$

3) 전체 전류 $I_L$ 산출

$$ I_L = I_1 + I_2 = \frac{E_1 Z_2 + E_2 Z_1}{Z_1 Z_2 + Z_2 Z_3 + Z_3 Z_1} $$

 

맺음말

이번 포스팅에서는 기술사 시험에 자주 출제되는 중첩의 원리와 밀만의 정리를 활용해 복잡한 회로망의 전류를 계산하는 과정을 살펴보았습니다. 전원 제거 시의 단락/개방 조건과 병렬 합성 임피던스의 분배 법칙은 회로 해석의 가장 뼈대가 되는 부분이니 반복적으로 연습하셔서 본인의 것으로 확실히 만드시길 바랍니다. 꾸준한 학습이 합격의 지름길입니다.