발송배전 및 건축전기 기술사 문제 | 회로이론 최대전력, 87회

전기 관련 기술사 시험에 자주 출제되는 회로이론 계산문제입니다. 이번 글에서는 87회 3교시 1번 문제인 최대전력전달 조건과 부하 저항 R을 구하는 방법을 다룹니다. 테브난의 정리를 활용한 임피던스 계산과 전력 최대화 원리를 쉽고 명확하게 파악해 실무와 시험에 완벽히 대비해 보세요.

핵심 요약

• 테브난의 정리 : 복잡한 회로를 하나의 등가 전압원($V_{th}$)과 직렬 등가 임피던스($Z_{th}$)로 단순화하는 방법
• 최대전력전달 조건 : 부하가 순수 저항(R)일 경우, 테브난 등가 임피던스의 절대값 크기와 같을 때($R = |Z_{th}|$) 최대 전력이 공급됨
• 문제 해결 키포인트 : 부하를 개방한 상태에서 개방단 전압과 내부 임피던스를 정확히 계산하는 복소수 연산 능력

 

1. 문제 개요 (87회 3교시 1번)

그림과 같은 회로에서 $R$에 최대전력을 공급하고자 할 때, $R$의 값이 얼마가 되는지 설명하시오.

회로의 전원은 $100\angle0^\circ \text{ [V]}$이며, 선로에는 $2[\Omega]$의 저항과 $4[\Omega]$의 유도성 리액턴스가 직렬로, $3[\Omega]$의 유도성 리액턴스가 병렬로 연결되어 있습니다. 이를 풀기 위해서는 테브난의 등가회로로 변환하는 과정이 필수적입니다.

 

회로이론 87회

 

 

2. 1단계: 개방단 전압 ($V_0$) 구하기

먼저 부하 저항 $R$을 개방(Open)한 상태에서 양단의 개방단 전압(테브난 등가 전압)을 구합니다. 전압 분배 법칙을 이용해 병렬 리액턴스 $j3[\Omega]$에 걸리는 전압을 계산합니다.

$$V_{0} = 100\angle0^\circ \times \frac{j3}{2 + j(4+3)} = 39.62 + j11.32 = 41.2\angle15.94^\circ \text{ [V]}$$

(참고: 제공된 원본 자료에는 수식 내에 100V 곱셈이 생략되어 표기되었으나, 계산된 결과값은 전압을 올바르게 곱한 값입니다.)

 

3. 2단계: 테브난 등가 임피던스 ($Z_0$) 구하기

전원을 단락(제거)하고 개방단 쪽에서 회로를 바라본 내부 임피던스 $Z_0$를 구합니다. 이때 직렬측 $2+j4$와 병렬측 $j3$이 서로 병렬 연결된 형태가 됩니다.

$$Z_{0} = \frac{j3(2+j4)}{2+j3+j4} = \frac{j6 - 12}{2+j7} = 0.34 + j1.81 = 1.84\angle79.4^\circ [\Omega]$$

계산 결과, 테브난 등가 임피던스는 크기가 $1.84[\Omega]$인 복소 임피던스입니다.

 

4. 3단계: 최대전력 전달을 위한 부하 저항 계산

교류 회로에서 부하가 순수 저항 $R$일 때 최대전력이 전달되기 위한 조건은, 부하 저항의 값이 내부 임피던스의 절대값 크기와 같아야 한다는 것입니다.

$$R = |Z_0| = \sqrt{0.34^2 + 1.81^2} = 1.84 [\Omega]$$

따라서 저항 $R$에 최대 전력을 공급하기 위한 값은 $1.84[\Omega]$이 됩니다.

 

맺음말

지금까지 테브난의 정리를 이용해 회로를 단순화하고, 부하에 최대 전력이 전달되기 위한 저항값을 구해보았습니다. 교류 회로에서 임피던스 크기를 매칭하는 이 원리는 실무의 임피던스 정합(Matching)과도 직결되는 중요한 개념입니다. 꼭 직접 손으로 풀어보시며 복소수 계산에 익숙해지시길 권장합니다.