발송배전 및 건축전기 기술사 문제 | 병렬공진, 회로이론(80회)

안녕하세요! 오늘은 발송배전 및 건축전기 기술사 시험에 자주 출제되는 회로이론 계산문제를 다루어 보겠습니다. 특히 교류회로의 병렬공진 시 합성 임피던스와 공진 주파수를 구하는 방법을 알기 쉽게 정리했으니 학습에 많은 도움 되시길 바랍니다.

핵심 요약

• 병렬공진 조건: 회로의 어드미턴스(Y) 허수부가 0이 되는 상태를 의미합니다.
• 합성 임피던스 계산: 저항(R)과 인덕턴스(L) 직렬회로에 커패시터(C)가 병렬 연결된 회로의 어드미턴스를 구하여 산출합니다.
• 공진 주파수: 어드미턴스의 허수부를 0으로 두고 주파수 f에 대해 정리하여 공진 주파수 공식을 유도합니다.

 

문제: 기술사 80회 3교시 2번 문제

다음과 같은 교류회로가 병렬공진될 때 이 회로의 병렬공진시의 합성 임피던스와 공진 주파수를 구하시오.

단, 콘덴서 회로에는 저항성분이 없는 것으로 본다.

 

기술사, 회로이론(80회)

 

풀이 1: 합성 임피던스 (어드미턴스)

그림의 회로에서 어드미턴스 Y는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

 

$$ Y = \frac{1}{R+j\omega L} + j\omega C = \frac{R}{R^2+\omega^2L^2} + j\left(\omega C - \frac{\omega L}{R^2+\omega^2L^2}\right) $$

 

풀이 2: 공진 주파수 계산

Y의 허수부가 0이 되는 상태를 병렬 공진 조건이라 합니다. 이를 바탕으로 공진 주파수를 구하는 과정은 다음과 같습니다.

 

$$ \omega C - \frac{\omega L}{R^2+\omega^2L^2} = 0 $$

 

위 식을 넘겨서 정리하면,

$$ \omega C = \frac{\omega L}{R^2+\omega^2L^2} $$

$$ \omega C R^2 + \omega^3 C L^2 = \omega L $$

 

양변을 $\omega$로 나누면,

$$ C R^2 + \omega^2 C L^2 = L $$

$$ \omega^2 C L^2 = L - C R^2 $$

$$ \omega^2 = \frac{L - C R^2}{C L^2} = \frac{L}{C L^2} - \frac{C R^2}{C L^2} = \frac{1}{C L} - \frac{R^2}{L^2} $$

 

따라서 각주파수 $\omega$는 다음과 같습니다.

$$ \omega = \sqrt{\frac{1}{CL} - \frac{R^2}{L^2}} $$

 

최종적으로 $2\pi f = \omega$ 이므로, 공진 주파수 $f_0$는 아래와 같이 유도됩니다.

$$ 2\pi f = \sqrt{\frac{1}{CL} - \frac{R^2}{L^2}} $$

$$ f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^2}{L^2}} $$

 

맺음말

지금까지 기술사 시험에 자주 출제되는 교류회로의 병렬공진 임피던스와 공진 주파수 공식을 직접 유도해 보았습니다. 어드미턴스 허수부가 0이 되는 원리를 확실히 파악해 두시면 실전 응용에 큰 도움이 될 것입니다. 다음에도 알찬 전기 실무 이론으로 찾아뵙겠습니다. 감사합니다!