발송배전 및 건축전기 기술사 문제 | 회로이론, 83회, 최대 전력전달

전력 계통 실무와 기술사 시험에서 자주 출제되는 회로이론 계산문제입니다. 테브난의 정리를 활용하여 복잡한 브리지 회로를 등가회로로 단순화하고, 최대 전력전달 조건을 도출하는 과정부터 소비 전력량 계산까지 상세한 풀이 과정을 단계별로 알기 쉽게 정리해 드립니다.

핵심 요약

• 테브난의 정리(Thevenin's Theorem): 능동 회로망을 단 하나의 전압원과 임피던스가 직렬 연결된 등가회로로 단순화하는 방법
• 최대 전력전달 조건: 회로의 내부 저항(순저항)과 부하 저항(순저항)이 정확히 같을 때 부하에 최대 전력이 전달됨
• 핵심 포인트: 등가 임피던스와 등가 전압을 정확히 산출한 후, 미분을 통해 전력 최댓값 조건을 증명하는 논리 전개가 필수

 

기출문제 개요 (83회 3교시 2번)

다음은 브리지 형태의 회로에 220[V] 교류 전원이 인가되었을 때, 특정 단자에 연결할 부하 저항에 대한 계산 문제입니다.

 

83회 회로이론

 

• 문제 조건: 회로망 내 저항은 각각 10Ω, 60Ω, 40Ω, 20Ω으로 구성됨
• 요구 사항 1: a, b 단자 부하측에 최대로 전력을 전송하기 위한 부하단자 a, b 사이의 저항 산출
• 요구 사항 2: 부하 전류[A] 계산
• 요구 사항 3: 부하 저항에서 10분 동안 소비하는 일의 양[kJ] 계산 (효율 90%, 소수점 3째 자리까지 산출)

 

1. 테브난 등가회로 변환 과정

단자 a, b 좌측의 능동 회로망(전원을 포함한 회로)을 하나의 전압원과 임피던스가 직렬 연결된 상태로 등가화합니다.

 

① 등가 임피던스($Z_{th}$) 산출

단자 a, b에서 전원 측을 바라볼 때의 합성 임피던스를 계산합니다. 이때 전압원은 단락(Short) 상태로 간주합니다.

$$ Z_{th} = \frac{10 \times 60}{10 + 40} + \frac{60 \times 20}{60 + 20} = 12 + 15 = 23 [\Omega] $$

 

② 등가 전압($V_{ab}$) 산출

단자 a와 b 양단의 개방 전위차를 산출합니다.

$$ V_a = \frac{40}{10 + 40} \times 220 = 176 [V] $$

$$ V_b = \frac{20}{60 + 20} \times 220 = 55 [V] $$

$$ V_{ab} = V_a - V_b = 176 - 55 = 121 [V] $$

 

2. 최대 전력전달 조건 및 소비전력량 산출

앞서 구한 등가회로(121V 전압원과 23Ω 내부 저항)에 부하 저항 $R$이 직렬 연결된 상태에서 다음을 계산합니다.

 

① 최대 전력전달을 위한 부하 저항($R$) 도출

회로에 흐르는 전류 $I$는 다음과 같습니다.

$$ I = \frac{121}{23.0 + R} $$

부하 저항 $R$에 전달되는 전송 전력 $P$의 식을 세우고, 분자와 분모를 $R$로 나눕니다.

$$ P = I^2 R = \frac{121^2 \cdot R}{(23.0 + R)^2} = \frac{121^2}{\frac{23.0^2}{R} + 2 \cdot 23.0 + R} $$

전력 $P$가 최대가 되려면 분모 부분이 최소가 되어야 하므로, 분모를 $R$에 대해 미분한 값이 0이 되는 조건을 찾습니다.

$$ \frac{d}{dR} \left( \frac{23.0^2}{R} + R + 2 \cdot 23.0 \right) = 0 $$

$$ \frac{-23.0^2}{R^2} + 1 = 0 \quad \rightarrow \quad R^2 = 23.0^2 $$

따라서, 부하 저항 $R = 23.0 [\Omega]$ 일 때 최대 전력이 전달됩니다.

 

② 부하 전류 및 최대 소비 전력 계산

조건을 만족하는 부하 전류 $I$와 최대 소비 전력 $P_{max}$를 구합니다.

$$ I = \frac{121}{23.0 + 23.0} = 2.63 [A] $$

$$ P_{max} = 2.63^2 \times 23.0 \approx 159.0 [W] $$

 

③ 10분 동안의 소비 전력량 계산

효율($\eta$)이 90%일 때, 저항에서 10분 동안 소비한 일의 양($W$)을 산출합니다. (참고: $1 [W \cdot s] = 1 [J]$)

$$ W = I^2 \cdot R \cdot t \cdot \eta $$

$$ W = 2.63^2 \times 23.0 \times (10 \times 60) \times 0.9 \times 10^{-3} $$

$$ W = 85.907 [kJ] $$

 

맺음말

테브난의 정리와 최대 전력전달 조건은 회로망 해석의 핵심 원리로써, 실무에서의 전력망 최적화 및 기술사 시험에서 필수적으로 요구되는 역량입니다.

 

복잡한 회로를 단순화하고 수식을 통해 조건을 논리적으로 도출하는 훈련을 꾸준히 반복하시면, 향후 어떠한 응용문제나 실무 트러블슈팅에서도 자신 있게 해결책을 제시하실 수 있을 것입니다.